Root of Unity

定义 Definition

单位根：在复数范围内，满足方程 \(z^n = 1\)（其中 \(n\) 为正整数）的数 \(z\)。这些解通常均匀分布在复平面的单位圆上。最常见的例子是 \(n\) 次单位根：
\[ e^{2\pi i k/n}\quad (k=0,1,\dots,n-1) \] （也可指更一般的“某个数的单位根”，但最常用的是上述 \(z^n=1\) 的情形。）

发音 Pronunciation

/ˌruːt əv ˈjuːnɪti/

词源 Etymology

root 在数学里有“方程的解、根”的意思（如 square root “平方根”）；unity 在数学语境中表示“1（单位元）”。因此 root of unity 字面即“1 的方程之根”，指“使得某个幂等于 1 的数”。该术语在复数与多项式理论发展过程中逐渐固定，用于数论、代数与傅里叶分析等领域。

例句 Examples

A primitive root of unity generates all the other roots by taking powers.
一个本原单位根通过取幂可以生成所有其他单位根。

The discrete Fourier transform relies on complex roots of unity to decompose a signal into frequency components.
离散傅里叶变换依赖复数单位根，把信号分解为不同的频率分量。

相关词 Related Words

• Complex
• Unit circle
• Exponent
• Primitive root
• Polynomial
• Fourier transform
• Discrete Fourier transform
• Cyclotomic polynomial
• Eigenvalue

文学与名著中的用例 Literary Works

• Carl Friedrich Gauss — Disquisitiones Arithmeticae：与圆分多项式（cyclotomy）和单位根相关的经典数论讨论中常出现该概念。
• Serge Lang — Algebra：在域扩张、单位根与圆分多项式等章节中系统使用 roots of unity。
• T. M. Apostol — Introduction to Analytic Number Theory：在数论与初等角色函数、圆分结构等内容中频繁涉及单位根。
• William Stein — Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets：介绍数论与相关代数工具时提及单位根与其性质。